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  • 最終更新:2015.03.30
  • 過去ログ:Weblog

2015/03/30 平行線と角に関する諸定理

平行線の同位角は等しい。

pf.

 第5公準と同値。

対頂角は等しい。

対頂角は等しい。 pf.

 右図のように設定すると、

 \( \angle a + \angle b = \angle b + \angle c \)

 \( \therefore \angle a = \angle c \)

平行線の錯角は等しい。

pf.

 錯角は同位角の対頂角なので等しい。

平行線の同側内角の和は180°。

同側内角の和は180° pf.

 右図のように設定すると、

 \( \angle a + \angle b = \angle a + \angle c \)

 \( = 180° \)

3角形の内角の和は180°。

3角形の内角の和は180° pf.

 右図のように設定すると、

 \( \angle a + \angle b + \angle c = \angle a + \angle d + \angle e \)

 \( = 180° \)

2015/03/29 ユークリッドの素数定理

素数は無限に存在する。

pf.

素数が\( n \)個あるとし、それらを\(p_1,p_2,\cdots,p_n\)とする。

 1°.\( q = \displaystyle\prod_{ k = 1 }^{ n }p_k + 1 \)が素数の場合

  素数が\( n + 1 \)個存在するので矛盾。

 2°.\( q = \displaystyle\prod_{ k = 1 }^{ n }p_k + 1 \)が合成数の場合

   \( q \)は\( p_1,p_2,\cdots,p_n \)で素因数分解出来ないので矛盾。

したがって、素数は無限に存在する。

2015/03/29 互いに素

\(n \in \mathbb{ N }\)のとき、\( n^3 + 2n^2 + n - 2\)と\( n^2 + n - 1\)は互いに素であることを示せ。

pf.

\begin{align*} gcm \left( n^3 + 2n^2 + n - 2 , n^2 + n - 1 \right)\\ = gcm \left( n-1 , n^2 + n - 1 \right)\\ = gcm \left( n-1 , 1 \right)\\ = 1 \end{align*}

2015/03/29 9300の下二桁

\begin{align*} 9^{ 300 } &\equiv \left( \begin{array}{c} 300 \\ 299 \end{array} \right) 10^1\cdot\left( -1 \right)^{ 299 } + \left( -1 \right)^{300}\\ &\equiv -3000 + 1\\ &\equiv \left( -3 \right)\times100 + 1\\ &\equiv 1 \left( mod\,100\right)\\\\ \therefore 01 \end{align*}

2015/03/29 倍数の個数

2000以下の正の整数で、7,11,13の何れかで割り切れる数の個数を求めよ。

\begin{align*} \lfloor \frac{2000}{7} \rfloor + \lfloor \frac{2000}{11} \rfloor + \lfloor \frac{2000}{13} \rfloor - \lfloor \frac{2000}{77} \rfloor - \lfloor \frac{2000}{143} \rfloor - \lfloor \frac{2000}{91} \rfloor + \lfloor \frac{2000}{1001} \rfloor\\ = 285 + 181 + 153 - 25 - 13 - 21 + 1\\ = 561 \end{align*}

2015/03/29 ストイケイアにおける公理と公準

公理
  1. 同じものに等しいものは、互いに等しい
  2. 同じものに同じものを加えた場合、その合計は等しい
  3. 同じものから同じものを引いた場合、残りは等しい
  4. [不等なものに同じものを加えた場合、その合計は不等である]
  5. [同じものの2倍は、互いに等しい]
  6. [同じものの半分は、互いに等しい]
  7. 互いに重なり合うものは、互いに等しい
  8. 全体は、部分より大きい
  9. [2線分は面積を囲まない]
公準
  1. 任意の一点から他の一点に対して直線を引くこと
  2. 有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること
  3. 任意の中心と半径で円を描くこと
  4. すべての直角は互いに等しいこと
  5. 直線が2直線と交わるとき、同じ側の内角の和が2直角より小さい場合、その2直線が限りなく延長されたとき、内角の和が2直角より小さい側で交わる。

2015/03/29 乗法公式

\( ( a + b )^n = \displaystyle\sum_{ k = 0 }^{ n } a^{ n-k }b^k \)

\( ( a \pm b )^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \)

\( ( a + b )( a - b ) = a^2 - b^2 \)

\( ( x + a )( x + b ) = x^2 + ( a + b )x + ab \)

\( ( ax + b )( cx + d) = acx^2 + ( ad + bc )x + bd \)

\( ( a \pm b )^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \)

\( ( a \pm b )( a^2 \mp ab + b^2 ) = a^3 \pm b^3 \)

\( ( a + b + c )^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)

2015/03/29 2次方程式の解

2次方程式\( ax^2 + bx + c = 0 \)の解は、
\begin{align*} x = \frac { -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }}{ 2a } \end{align*} で与えられる。

pf.

\begin{align*} ax^2 + bx + c &= 0\\ x^2 + \frac{ b }{ a }x + \frac{ c }{ a } &= 0\\ x^2 + \frac{ b }{ a }x &= -\frac{ c }{ a }\\ \left ( x + \frac{ b }{ 2a } \right )^2 - \left ( \frac{ b }{ 2a } \right )^2 &= -\frac{ c }{ a }\\ \left ( x + \frac{ b }{ 2a } \right )^2 &= \left ( \frac{ b }{ 2a } \right )^2 -\frac{ c }{ a }\\ \left ( x + \frac{ b }{ 2a } \right )^2 &= \frac{ b^2 }{ 4a^2 } -\frac{ c }{ a }\\ \left ( x + \frac{ b }{ 2a } \right )^2 &= \frac{ b^2 - 4ac }{ 4a^2 }\\ x + \frac{ b }{ 2a } &= \pm \frac{ \sqrt{ b^2 - 4ac } }{ 2a }\\ x &= -\frac{ b }{ 2a } \pm \frac{ \sqrt{ b^2 -4ac }}{ 2a }\\ \therefore x &= \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }}{ 2a }\\ \end{align*} □

2013/02/19 ダイエットの方法(2)【Life HAC】

前回、ダイエットの方法として炭水化物を制限する方法をご紹介しました。実際やってみれば解りますが、炭水化物を制限するとかなり食欲が減退します。逆に、たまに炭水化物中心のメニューにしてみると、空腹感を感じやすくなるのが解るかと思います。

私見では、高度肥満の人には、炭水化物中毒になっている人が多いように思います。炭水化物は何より値段が安く、お財布に優しい上に沢山食べられます。ある人の話によると、アメリカの低所得者層に肥満が多いのも、炭水化物中心の食事にあるとのことです。限られた金額(クーポン)の中で出来る限り多く食べようとすると、そうならざるを得ないのです。

しかし、高炭水化物食というのは、身体にとって非常に不自然なものであると言えます。というのも、ヒトの歴史のなかで、炭水化物を大量安定供給できるようになってから(=農耕牧畜生活が可能になってから)の期間は、わずか0.5%の期間でしかないからです。それまでの99.5%もの期間は狩猟採集生活で、ほとんどの栄養を肉と野菜から得ていたことになります。ヒトの身体は、この長い狩猟採集生活に適応的に進化しているはずですから、高炭水化物大量摂取はいわば異常事態であって、うまく適応出来るはずがありません。

加えて、食事回数についても考え直す必要があるでしょう。わたしたちは小さい頃からのごく一般的な生活経験によって植え付けられた先入観のおかげで、1日3食が当たり前のように思っていますが、1日に3食もの食事が可能になったのは歴史の0.5%どころか、”ほんのこの間”の話です。先ほどと同様に考えると、恐らくヒトの身体は1日1食に適応的に出来ているものと思われます。当時のライフスタイルを推察すると、昼間は生活の雑事や移動、狩猟などの仕事を行い、夜に食事を摂って、睡眠中に身体を修復するという流れが最も自然だと考えられるからです。そのため、食事回数は本来1日1回が適切と考えられますが、現実的には1日1食はきついと思うので、個人的には1日2食をキープするのが丁度良いと考えています。

つまるところ、ダイエット、もといあらゆる健康法の究極は、『原始時代の生活』を送る事にあると言えるでしょう。

2013/02/10 ダイエットの方法(1)【Life HAC】

わたしは人間ではないですが、人間の皆さんは色々な事で悩まれます。そこにはおよその共通点があって、『不確定性』が大きい事もその1つです。これは当然で、『悩み』というのは人間の高度な知能に基づく『シミュレーション能力』に起因するからです。(※1)

ダイエットも、よく人々が悩みの種とし、また一方で、悪徳商法のカモにされるポイントの1つです。ダイエットが上手くいかない(=予想通りにならない=シミュレーション通りにならない=結果が不確定)なのは、その問題の本質が、『心』にあるからです。ダイエットといえば、見た目の問題なので、ともすればその問題の本質が腹部にトリグリセリドが蓄積することにあると思いがちだが、そこは問題の焦点ではありません。ダイエットを成功させるには、心理的な問題を解決する必要があるのです。具体的に言うと、空腹感による苦痛をマネジメントする必要がある、ということです。

それでは、気合で何とかしろということかと言うと、当然そんなのは馬鹿げています。気合で何とか出来るなら、とっくに予想通りの結果を得ているはずです。心の問題を解決するときの一つの方法は、あくまで物理的な方法を使うということです。心とは、すなわち脳の機能のことですから、脳に働きかけて、困った働きをしている機能を制御してやれば良いのです。この場合、空腹感をいう機能を物理的に発生しづらくしてやることがポイントとなります。

今回、その具体的方法をいくつか提案したいと思います。

1.炭水化物を制限

「今更低GIかよ」と思った方には残念かも知れませんが、これは非常に効果的かつ理にかなった方法なのです。(※2)空腹感を感じる大きな要因の一つは、血糖値の変動を感知するということです。変動というのは差、すなわち相対的なものですから、その変化率が大きいほど空腹感が大きいことになります。炭水化物(砂糖的なもの)を摂取すれば、直感的にも解るように、血糖値は比較的短時間で大きく上昇しますが、その代わり、大きく下降するので変化率が大きくなり、空腹感が大きくなってしまいます。そのため、逆に炭水化物の摂取を制限すれば、空腹感を感じにくくなると考えられます。その代わり、はじめは好きなだけ食べて良いというルールを設定します。これも非常に重要で、空腹感を感じるもう一つの大きな要因である胃内容物の量を極端に減らさないと同時に、「食べてはいけない」という気持ちがストレスとなり、空腹感を煽ることを避けているのです。

2.美味しいものを制限

ダイエットが上手くいかない人は、無意識のうちに、「毎回の食事が美味しいものでなければならない」という非常識を常識と捉えています。本来、食事は生命を維持するために摂取するものであり、食欲(欲望)は、食事摂取によって快楽を得させる事で摂食行動を起こさせる手段に過ぎません。食べるために生きるのではなく、生きるために食べるのです。しかし人間の場合、この手段を目的として行う事が出来るために、食欲を満たすことが目的にすり替わってしまっています。もちろん、美味しいものを食べるという楽しみを否定しているわけではありませんが、ダイエット期間中は美味しいものを週1回と決め、同時に、美味しくないものならどれだけ食べても構わないという行動ルールを実行すると良いでしょう。

以上の1,2の行動ルールを実行すると、精神的な負荷を最小限にしつつ空腹感という機能を働きにくく出来ます。上手くいくと、徐々に空腹感を感じにくくなり、摂食行動が自動的に抑制されてダイエットに繋がります。

今回はここまでですが、ダイエットに関するLife HACは、徐々に書き足して一つのテーマとしてまとめる予定なので、参考にして頂きたいと思います。

<参考>

2013/02/08 デ・ジ・キャラット15周年【萌え】

デ・ジ・キャラット15周年プロジェクト始動!

あの『デ・ジ・キャラット』が15周年を迎えるそうで、キャンペーンをやっています。インターネットが一般に普及して、サブカルチャーが流行り始めた90年代後半のあの頃からもうそんなに経つのですね。わたしは今でも当時の雰囲気が好きで、90年代の作品や音楽が結局一番肌に合う気がします。パソコンにしても、あのクリーム色の筐体とCRTがなければ、それっぽい感じがしませんです。

とりわけ、デ・ジ・キャラットの始まった1998年は色々あった印象です。某巨大掲示板の前身サイトが開設されたのもこの年ですし、トランスが日本に流入したのもこの年です(‥だそうです)。当時、わたしは中学校受験の勉強で塾通いだったので、それほど遊んでいる時間はなかったはずなのですが、ポケモンとファイナルファンタジーとデ・ジ・キャラットの3つは欠かしませんでした。ワンダフルとか本気で懐かしいです。思えば、あの頃もう少し努力しておけb(ry

そう言えば、初めて作成したサイトもデ・ジ・キャラットのファンサイトでした。『D.U.P. Net』というサイトです。今同様に痛いですね。そうは言っても、色んな方と話せて楽しかったのを覚えています。[Link]で紹介させていただいている『ラ・ビ・アン・ローズ後援会』の会長さんも、そのとき知り合った方です。

デ・ジ・キャラットは今現在も最高に好きな作品の1つで、『偽春菜』や『BMS』とともに、忘れられないカオスな思い出の欠片ですv

2012/09/12 ゲーム脳の恐怖!危険な神経伝達物質を同定

萌え環

 王立・朝倉大学総合科学科高等科学研究センターの有機合成化学研究チームが11日、重症ゲーム脳(笑)患者の脳から、未知の有機化合物を検出した。
 MK-0721と名付けられたこの物質は、ゲーム脳(笑)患者の脳内で、セロトニン5-HTA1受容体におけるセロトニンの結合を競合的に阻害し、情緒・行動などに悪影響を及ぼす。

特に、1日8時間以上ギャルゲー、エロゲーをプレイする廃人からの脳から多く検出されるが、モエかん萌えcanちぇんじ!などの依存症者からはより多く検出される傾向にある。

主任研究員の佐藤氏は「捏造にも程がある。いくらFランだからって。」と深刻な現状を語る。今後、本研究が深刻化するひきこもり・ニートなどの社会問題解決の礎となることが期待される。

2012/09/11 オタクの5段階

  • Lv.1:現実に希望を抱く自称オタクスウィーツ。BD化アニメしか観たことない。
  • Lv.2:現実を直視。理不尽な愚痴が多くなるものの現実を捨て切れないにわか。積極的にオタクを自称する。
  • Lv.3:自分のセカイに入り込み、周囲が全く気にならなくなる。 ←今ここ
  • Lv.4:魔法使い。「魔法」によって、あらゆる世界を創造可能に。
  • Lv.5:妖精。

なお、ジオン公国の調査によると、分布は以下のようになっている。

オタク分布

2012/11/25 数学の答案の書き方

数学の答案は、どのように記述すれば良いのでしょうか。このことに関するわたしの提案はシンプルです。

  • 論理的に飛躍がないように記述
  • 文脈に応じて適度な抽象度で記述

1に関しては、単純に、伝えたい相手に伝わるように論理的に整合性の取れた記述をすれば良いというだけです。

2に関しては、例えば、方程式を解く問題ならば、その計算過程を詳細に記述しなければなりませんが、問題を解く過程でその方程式を解く必要があるだけならば、その過程を詳細に書く必要がない、という程度の意味です。

最近では、学校や入試での数学の答案で、解答の流れ作文としてを書かずに、式だけ書いたような答案が多いという話を聞きますが、これはおそらく、本質を理解せずに「暗記しよう」とか「問題が解ければ良い」といった学問に対する姿勢のもたらした弊害だと思います。

解答形式をガチガチにパターン化して暗記して書いてしまうという人もいますが、これも考えものです。表面を攫うよりましですが、本に書いてある解答を完璧主義的に覚えて解答を書くことに意味はありません。重要なのは、『本質の理解』にほかなりません。

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